Leçon de l'arithmétique


1 N dsigne Lensemble des entiers naturels N 210 n Larithmtique est ltude des nombres entiers et des oprations sur ces nombres Proposition Pour tout a N et b N a b 0 a b 0 ab 0 a 0 ou b 0 ab 1 a b 1 La divisibilit dans N Soient a et d deux entiers naturels tels que d 0 On dit que d divise a sil existe k N tel que a kd Lentier k est appel le quotient de a par d d est appel un diviseur de a et a est dit un multiple de d Division euclidienne dans N Soient a et b deux entiers naturels o b gt 0 Il existe un couple unique dentiers naturels qr tels que lt 0 r b a bq r q est appel le quotient r le reste a le dividende et b le diviseur de la division euclidienne de a par b Le PGCD de deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non nuls Le PGCD de a et b est le plus grand lment de lensemble des diviseurs communs aux deux entiers a et b On note par PGCDa b ou a b Exemple Calculer PGCDa b avec a 36 et b 24 a 22 32 et 3 b 3 2 On a 9 9 18 36 3 3 6 12 1 1 2 4 1 2 4 Alors D36 964321 121836 et on a 3 3 6 12 24 1 1 2 4 8 1 2 4 8 Alors D24 864321 1224 Alors D24 D36 64321 12 alors PGCD 2436 12 Nombres pairs et impairs Tout entier naturel est soit pair soit impair Sil est multiple de deux cest un nombre pair Par exemple les nombres 4 8 et 60 sont pairs Le nombre zro est pair parce quil est gal 2 multipli par 0 Sinon le nombre est impair Par exemple 5 3 et 71 sont impairs Le nombre un est impair cest le plus petit entier naturel impair Lensemble des entiers naturels pairs peut tre crit comme ceci Entiers naturels pairs 0 2 4 6 8 10 12 14 De mme les ensembles des entiers impairs naturels ou relatifs scrivent Entiers naturels impairs 1 3 5 7 9 11 Proprits pair pair pair pair impair impair impair impair pair pair pair pair pair impair pair impair impair impair pair impair pair impair impair impair impair pair nest jamais un entier pair pair peut tre pair ou impair
2 Divisibilit par 9 Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si la somme des ses chiffres est divisible par 9 Divisibilit par 11 Un entier naturel On dsigne par S1 la somme des ses chiffres de rang impairsde droite gauche et S2 la somme des ses chiffres de rang pairs Soit d S1 S2 Si d 0 alors n est divisible par 11 si et seulement si d est divisible par 11 est divisible par 11 si et seulement si la somme des ses chiffres est divisible par 9 Si d lt 0 alors n est divisible par 11 si et seulement si d 11p est divisible par 11 p le plus petit entier naturel tel que d 11p 0 Critres de divisibilit Convention dcriture Pour ne pas confondre un nombre avec son criture dans sa dcomposition en base 10 on notera n n 1 a1a0 a a le nombre pour lequel a0 est le chiffre des units a1 celui des dizaines etc On a ainsi n n 1 a1a0 x a a a01 a110 an10n Exemple 13 4 x 10296 6 9 10 2 102 0 10 110 Divisibilit par 3 Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si la somme des ses chiffres est divisible par 3 Divisibilit par 4 ou 25 Un entier naturel est divisible par 4 respectivement par 25 si et seulement si si le nombre form par ses deux derniers chiffres est divisible par 4 respectivement par 25 Divisibilit par 5 Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si son dernier chiffre est 0 ou 5 Divisibilit par 8 Un entier naturel 100 est divisible par 8 si et seulement si nombre form par ses trois derniers chiffres est divisible par 8 Entiers premiers entre eux On dit que les deux entiers a et b sont trangers ou premiers entre eux si a b 1 Exemple Montrer que 144 et 385 sont premiers entre eux quotient 2 1 2 15 1 2 385 144 97 47 3 2 1 0 a b r r r r r r 1 2 3 4 5 6 alors 144 385 1 Exemple Calculer PGCD385140 quotient 2 1 3 385 140 105 35 0 a b r r r 1 2 3 alors 35 PGCD385140 Le PPCM de deux entiers naturels Soient a et b deux entiers naturels non nuls Le PPCM de a et b est le plus petit commun multiple de a et b On note par PPCMa b ou a b Lalgorithme dEuclideRecherche de PGCDab On pose a bq1 r1 0 r1 lt b alors ab br1 si r1 0 si r1 0 alors ab b b r1q2 r2 0 r2 lt r1 alors br1 r1r2 si r2 0 si r2 0 alors br1 r1 r1 r2q3 r3 0 r3 lt r2 alors r1r2 r2r3 si r3 0 si r3 0 alors r1r2 r2 puisque la suite des nombres entiers positifs rn est strictement dcroissante et minore par 0 le nombre dtapes est major par b et ab est le dernier reste rn non nul Dtermination du PGCDab en utilisant lalgorithme dEuclide Soit r le reste de la division euclidienne de a par b alors a b b r Le PGCD ba est le dernier reste non nul de la suite des divisions euclidiennes dans
3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Crible dErathostne Cest un tableau permettant de dterminer les nombres premiers infrieurs 100 Les nombres dans les cases grises sont des nombres premiers Pour remplir ce tableau on procde par limination On limine le 1 On garde 2 et on limine tous les multiples de 2 On garde 3 et on limine tous les multiples de 3 etc 3 3 3 2 2 2 3 9 27 54 108 216 Proprits Il existe une infinit de nombres premiers Tout entier naturel n 2 se dcompose en un produit fini de nombres premiers Pour tout entier naturel n 2 il existe des nombres premiers distincts deux deux 1 pk p et des entiers naturels non nuls 1 k a a tels que 1 2 pk p lt p lt lt et n se dcompose de faon unique sous la forme 1 2 ak k a 2 a 1 n p p p Exemple n 216 alors 3 3 216 2 3 3 Nombres premiers Dfinitions Un entier naturel p 2 est dit premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-meme Un entier naturel distinct de 1 non premier est appel entier compos Un entier naturel est un carr parfait lorsque sa racine carre est un entier naturel Thormes Tout entier naturel n admet au moins un diviseur premier Si n est un entier naturel distinct de 1 alors le plus petit diviseur de n distinct de 1 est premier Un entier naturel n gt1 est compos si et seulement si il admet un diviseur premier p tel que p n Comment reconnatre quun nombre est premier Pour reconnatre si un nombre entier naturel n est premier on effectue les divisions Euclidiennes successives par les nombres premiers infrieurs n pris dans lordre croissant - si lune de ces divisions donne pour reste 0 alors ce nombre nest pas premier - si aucune division ne donne pour reste 0 on peut alors conclure que ce nombre est premier Exemple 217 est il un nombre premier On a 217 147309 alors 2 2 14 lt 217 lt 15 alors les nombres premiers 14 sont 2357 1113 Si lun des ces nombres divise 217 alors est un nombre compos si non 217 est un nombre premier On a 2 3 5 ne divise pas 217 mais 7 divise 217 alors 217 est un nombre compos Le PGCD le Le PGCD de deux nombres entiers a et b suprieurs ou gaux 2 a pour dcomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers apparaissant la fois dans la dcomposition de a et de b munis du plus petit des exposants trouvs dans la dcomposition de a et de b Ainsi Le PPCM de deux nombres entiers a et b suprieurs ou gaux 2 a pour dcomposition en facteurs premiers le produit des facteurs premiers apparaissant dans a ou dans b munis du plus grand des exposants trouvs dans la dcomposition de a et de b Ainsi PPCM et la dcomposition en facteurs premiers la dcomposition en facteurs premiers
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