les ensembles des nombres


1 Les nombres entiers N 012345 ensemble des entiers nat urels N N 0 12345 ensemble des entiers naturels non nuls Z 5 4 3 2 1012345 ensemble de s entiers relatifs Z Z 0 5 4 3 2 112345 ensemble des entiers relatifs non nuls 012345 ensemble des entiers rel atifs positifs Z 0 1 2 3 4 5 ensemble des entiers rela tifs ngatifs Z 12345 ensemble des entiers relatifs strictement positifs Z 1 2 3 4 5 ensemble des entiers relatifs strictement ngatifs Z Remarques 0 est la fois positif et ngatif Cest le seul nombre qui jouit de cette proprit Z Z 0 11 Les entiers relatifs sont munis du signe ou du signe On a Z Z Z 12 Lensemble des entiers relatifs positifs est gal lensemble des entiers naturels Z N 13 Lensemble des entiers naturels est inclus dans lensemble des entiers N Z 14 On veillera ne pas confondre les termes de chiffre et dentier seuls les dix entiers 012345678 et 9 sont appels chiffres 12 est donc un nombre entier mais pas un chiffre 2 Les nombres dcimaux Un nombre dcimal est un nombre qui peut scrire laide dun nombre fini de chiffres derrire la virgule Par exemple 12345 et 5004 sont des nombres dcimaux mais 1 3 033333 nest pas un nombre dcimal car dans son dveloppement dcimal il y a une infinit de chiffres 3 derrire la virgule Pour comprendre la dfinition mathmatique exacte de lensemble des nombres dcimaux remarquons que 2 12345 12345 12345 100 10 et 3 5004 5004 5004 1000 10 est lensemble des nombres dcimaux 10m n n m D Z N
12 0 est lensemble des nombres dcimaux non nuls 10m n n m D D Z N est lensemble des nombres dcimaux positifs 10m n n m D N N est lensemble des nombres dcimaux ngatifs 10m n n m D Z N Exemples 2 1 25 25 025 4 100 10 D 3 3 15 15 200 1000 10 D 9 9 9 1 10 D Remarques Le dernier exemple ci-dessus est important car il montre que tout entier est aussi un nombre dcimal En effet si a Z alors 1 10 a a a D car le numrateur a Z et le dnominateur est 0 10 avec lexposant 0 N Donc Z D 15 Un nombre dcimal peut toujours scrire avec un nombre fini de chiffres non nuls derrire la virgule On a vu que 13 nest pas un nombre dcimal puisque dans son dveloppement dcimal il y a une infinit de chiffres 3 derrire la virgule On va donc agrandir lensemble des nombres rencontrs jusqu prsent par les nombres rationnels du latin ratio fraction Chaque nombre rationnel peut scrire sous forme dune fraction numrateur et dnominateur entiers 13 est donc un nombre rationnel est lensemble des nombres rationnels a a b b Q Z Z Exemples 1 3 Q 315 29 Q 1998 1997 Q 12 6 12 10 5 Q 375 3 0375 1000 8 Q 3 Les nombres rationnels
13 Remarques Les deux derniers exemples montrent que tout dcimal est aussi un nombre rationnel En effet si x D alors on sait que x peut scrire sous la forme 10m n x avec n Z et 10m N donc x peut tre reprsent par une fraction numrateur et dnominateur entiers ie x Q Donc D Q 16 Tout nombre rationnel peut tre crit soit sous forme dune fraction forme fractionnaire soit sous forme dun dveloppement dcimal par exemple 1 4 est une fraction et 025 est son dveloppement dcimal 5 9 est une fraction et 0555 est son dveloppement dcimal Attention Tous les nombres rationnels admettent un dveloppement dcimal mais ce ne sont pas tous des nombres dcimaux Par exemple 1 4 est un nombre dcimal mais 5 9 nest pas un nombre dcimal Rappelez pourquoi Tout nombre rationnel admet une infinit de reprsentants par exemple 1 2 3 4 3 6 9 12 sont tous des reprsentants du mme nombre rationnel 1 3 Le reprsentant privilgi est la fraction 1 3 car elle est irrductible Rappelons quune fraction a b avec a Z et b Z est irrductible si et seulement si a et b nont pas de diviseur commun sauf 1 ie pgcd 1 a b Considrons maintenant le dveloppement dcimal de quelques nombre rationnels 1 011111 01 9 1 016666 016 6 1 0142857142857142857 0142857 7 1 0118811881188 01188 101 On observe dans tous les dveloppements dcimaux des suites de chiffres qui se rptent indfiniment Ce phnomne est gnral pour les nombres rationnels comme laffirme le thorme suivant Thorme 1 Dans le dveloppement dcimal de tout nombre rationnel il y a une suite de chiffres qui se rpte indfiniment appele priode de ce nombre rationnel Dmonstration Admise
14 Exemples La priode de 1 3 est 3 celle de 1 6 est 6 celle de 1 7 est 142857 etc Quelle est la priode de 1 4 Quelle est la priode dun nombre dcimal 4 Les nombres rels Il est facile dinventer des nombres non rationnels ie des nombres dont le dveloppement dcimal nest pas priodique Exemples x 101001000100001000001 y 0123456789101112131415 nombre de Champernowne On dit que ces nombres sont irrationnels Il existe encore beaucoup dautres nombres irrationnels comme par exemple 31415926535897932385 2 141421356 e 271828182845 nombre de Napier En fait on peut dmontrer quil existe une infinit de nombres irrationnels Les nombres rationnels ensemble avec les nombres irrationnels forment lensemble de tous les nombres appels nombres rels Retenons ensemble de tous les nombres ensemble des nombres rels ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels R R ensemble des nombres rels non nuls ensemble des nombres rels positifs R ensemble des nombres rels ngatifs R I ensemble des nombres irrationnels Comme R est lensemble de tous les nombres il est vident que Q R I R et 17 Plus prcisment Q I R Q I et 18 Rsumons finalement les relations 14 17 N Z D Q R 19
15 Voici un diagramme de Venn avec tous les ensembles de nombres R Q D Z N Regles de calcul 1 Les fractions Proprietes Soient abcd quatres nombres reels tels que 2 Les racines carrees Definition 5 Soit x un nombre reel positifla racine carree de x est le nombre positif dont le carre est egal x Ce nombre est not
Remarque sapelle la quantite conjugue de lexpression 3 Les puissances Definition Proprietes Si Si Proprietes Si Si Si 16 Identits remarquables Pour tous rels a et b on a a b2 2a 2b 2ab a b2 2a 2b 2ab a ba b 2a 2b a b a b 3ab 3a b 3 3 3 2 2 a b a b 3ab 3a b 3 3 3 2 2 a b a b 2a ab 2b 3 3 a b a b 2a ab 2b 3 3 6 7 Puissances de 10 8 Ecriture scientifique Ecrire un nombre en criture scientifique cest lexprimer sous la forme Pour les nombres suprieurs 1 en valeur absolue lexposant n sera positif Pour les nombres infrieurs 1 en valeur absolue lexposant n sera ngatif
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ghofrane

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