L'ordre dans IR


1 I Ordre et comparaison Comparer deux nombres rels a et b cest chercher savoir quel est le plus grand ou sils sont gaux Dire que a lt b quivaut dire que a b lt 0 Ainsi comparer a et b revient tudier le signe de a b exemples Soient a et b deux nombres rels comparer a2 b2 et a b2 a Ordre et addition Proprit Si a lt b alors a c lt b c et a c lt b c Autrement dit ajouter ou soustraire un mme nombre chaque membre dune ingalit ne change pas le sens de lingalit Proprit Si a lt b et c lt d alors a c lt b d En effet si a lt b alors a c lt b c De plus si c lt d alors b c lt b d On en dduit a c lt b d b Ordre et multiplication Proprit Si a lt b et c gt 0 alors ac lt bc et a c lt b c Si a lt b et c lt 0 alors ac gt bc et a c gt b c Autrement dit multiplier ou diviser chaque membre dune ingalit - par un mme nombre strictement positif ne change pas le sens de lingalit - par un mme nombre strictement ngatif change le sens de lingalit Proprit Si a b c et d sont des rels positifs tels que a lt b et c lt d alors ac lt bd En effet si a lt b alors ac lt bc car c gt 0 De plus si c lt d alors bc lt bd car d gt 0 On en dduit ac lt bd c Encadrement Soient a b et x trois nombres rels On dit que a et b encadrent x lorsque a x b Exercice x est un rel tel que 1 lt x lt 2 On pose B -2x 3 Trouver un encadrement de B
2 II Ingalits sur les carrs les racines carres les inverses a Passage au carr la racine carre Proprit a et b tant deux nombres positifs distincts a lt b quivaut a2 lt b2 dmonstration On sait que a2 b2 a ba b Comme a et b sont positifs a b est aussi positif et on en dduit que a b et a2 et b2 sont de mme signe Do - si a lt b alors a b lt 0 donc a2 b2 lt 0 et a2 lt b2 - si a2 lt b2 alors a2 b2 lt 0 donc a b lt 0 et a lt b Autrement dit deux nombres positifs sont rangs dans le mme ordre que leurs carrs Consquence deux nombres positifs et leurs racines carres sont rangs dans le mme ordre Donc a lt b quivaut a lt b b Passage linverse Proprit a et b tant deux nombres strictement positifs a lt b quivaut 1 a gt 1 b Dmonstration 1 a gt 1 b quivaut 1 a 1 b gt 0 Or 1 a 1 b b a ab et ab gt 0 car a gt 0 et b gt0 Donc 1 a 1 b et b a sont de mme signe Donc 1 a 1 b gt 0 quivaut b a gt 0 cest dire a lt b Autrement dit deux nombres strictement positifs sont rangs dans lordre contraire de leur inverse Exercice x est un rel tel que 2 lt x lt 5 Donner un encadrement de A x 1 x III Comparaison de a a2 et a3 lorsque a gt 0 Proprit a est un rel strictement positif 1 Si a gt 1 alors a 3 gt a 2 gt a 2 si a lt 1 alors a 3 lt a 2 lt a Dmonstration De lhypothse a gt 1 on dduit dune part que a 2 gt a on multiplie les deux membres par a gt 0 et dautre part que a 3 gt a 2 on multiplie par a 2 gt 0 Donc a 3 gt a 2 gt a De la mme faon lorsque 0 lt a lt 1 on dmontre que a 3 lt a 2 lt a Remarque pour a 0 et a 1 a a 2 a 3
3 Exercice x est un rel tel que 3 lt x lt 4 On pose A 4 x Comparer les nombres A A2 et A3 IV Valeur absolue a Distance entre deux rels Dfinition La distance entre deux rels x et y est la diffrence entre le plus grand et le plus petit Cette distance est note x you encore y x x y se lit valeur absolue de x moins y Exemples 3 5 est la distance entre les rels 3 et 5 Cette distance est gale 5 3 2 -2 3 est la distance entre les rels 2 et 3 Cette distance est gale 3 -2 5 Interprtation graphique de x y Sur une droite gradue dorigine O notons M le point dabscisse x et N le point dabscisse y x y est la distance entre les points M et N cest dire MN Application Soient A B et M trois points distincts dune droite gradue On note a b et x les abscisses respectives des points A B et M Lgalit x ax bse traduit par MA MB avec A B et M aligns cela signifie que M est le milieu du segment AB Exercice Trouver tous les nombres x tels que x 1 3 A et M sont les points dabscisses respectives 1 et x sur une droite gradue AM x -1 x 1 Trouver tous les nombres x tels que x 1 3 revient donc trouver les abscisses des points M de la droite gradue tels que AM 3 Les nombres cherchs sont donc 2 et 4 b Valeur absolue dun rel Lorsque y 0 x y x Le nombre rel x est alors la distance entre x et Donc x x lorsque x 0 -x lorsque x lt 0
4 Exemples 5 5 car 5 est un nombre positif -3 3 car -3 est un nombre ngatif Si x est un nombre rel x2 x2 car x2 0 Proprits 1 Dire que x 0 quivaut dire que x 0 2 -xx 3 Dire que xy quivaut dire que x y ou x -y c Lingalit x a r a et r fixs r gt 0 Proprit a est un rel r est un rel strictement positif Dire que x a r quivaut dire que x appartient lintervalle a r a r Dmonstration x a r signifie que la distance de x a est infrieure ou gale r cest dire que x appartient lensemble reprsent en rouge sur la figure ci-contre Donc x a r quivaut dire que x appartient a r a r donc quivaut dire que a r x a r V Encadrement dun nombre i Dfinition Soit x un nombre donn Raliser un encadrement de x cest trouver deux nombres a et b tels que a x b Le nombre b-a est lamplitude de cet encadrement Exemples Donner un encadrement de 3 damplitude 1 de damplitude 01 ii Encadrement dune somme dun produit Rgle 1 Si a b et c d alors a c b d Rgle 2 Si 0 a b et 0 c d alors 0 ac bd VI Valeur approche dun nombre Dfinition Soit a et x deux nombres et un nombre strictement positif On dit que a est une valeur approche ou approximation du nombre x prs ou la prcision lorsque x a
5 Dfinition Soit a et x deux nombres et un nombre strictement positif On dit que a est une valeur approche ou approximation du nombre x prs ou la prcision par dfaut lorsque a x a a est une valeur approche de x prs par excs lorsque a- x a
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