Epreuve de maths Juin 2007- série Sciences mathématiques

Baccalaur eat sciences math ematiques session de juin 2007 10 juin 2007 EXERCICE 1 I Soit E R 1 2 et pour tout a b de E 2 on pose a b a b ab 2 1-a Verifier que pour tout couple a b de E 2 a b 1 2 1 2 a 2 1b 2 1 1-b En d eduire que est une lois de composition interne dans E 2 Montrer que E est un groupe commutatif II M2R est lensemble des matrices carr ees dordre 2 On rappel que M2R est un anneau unitaire d el ement unit e I 1 0 0 1 et que M2R est est un espace vectoriel r eel Soit F lensemble des matrices de M2R qui s ecrient sous la forme Ma 1 2 2 a a a 2 a tel que a E et on pose A 1 1 1 1 1-a Verifier que A2 2A et que Ma I a 2 A 1-b Montrer que F est une partie stable de M2R 2 On considere lapplication E M2R a 7 a Ma a Montrer que est un isomrphisme b En d eduire la structure de F 1

EXERCICE 2 Soit a un nombre complexe diff erent de i et de i I 1-a Verifier que le nombre u a i est une solution de lequation E z 2 1 a1 iz 1 a 2 i 0 1-b Determiner v la deuxieme solution de l equation E 2 On suppose a 1 a Montrer que u v R b Verifier que u 2 aa a 2i c En d eduire que argu 1 2 arga 4 3 Montrer que u v 2 II Le plan complexe est rapport e a un repere orthonorm e O e1 e2 Soit m un nombre r eel strictement positif et Em lensemble des points Ma du plan complexe tel que u v m 1 Montrer que Em est une ellipse de centre O 2 On pose a x iy avec sx et y sont des r eels a Montrer que x 2 1 4 m2 y 2 m2 b Tracer E4 3 On considere les deux points A 3 et B2i les sommets de lellipse E4 Montrer que la droite AB est tangente a E 8 7 EXERCICE 3 1 On considere lequation E 195x 232y 1 a Determiner le plus grand diviseur commun des deux nombres 195 et 232 b Montrer que l ensemble des solutions de lequation E est S 163 232k 137 195kk Z c determiner lunique entier d v erifiant 0 d 232 et 195d 1 232 2

2 Montrer que 233 est un ombre premier 3 Soit A lensemble des nombres entiers naturels compris entr e 0 et 232 et on considere f lapplication de A vers A d efinie par pour tout a de A fa est le reste de la division euclidienne du nombre a 195 par 233 On admet que a A 0 a 232 1 233 a Montrer que pour tout a et b de A si fa fb alors a b b Soient a et b deux el ements de A tel que fa b determiner a en fonction de b c En d eduire que lapplication f est une bijection et determiner sa bijection r eciproque f 1 EXERCICE 4 I On considere la fonction num erique g d efinie sur R par gx 1 x 1e x 1 Montrer que pour tout x de R gx 0 2 Montrer que x 0 est la solution unique de l equation gx 0 II Soit f la fonction num erique d efinie sur R par fx x e x1 x 6 0 f0 0 et soit C la repr esentation graphique de la fonction f dan un repere orthonorm e Oij 1 Calculer les deux limites lim x fx et lim x fx x 2 Montrer que la fonction f est continue en 0 3 Soit f la fonction d eriv ee de la fonction f dans R a calculer f x pour tout x de R b En d eduire le tableau de variation de la fonction f 4 On consid ere lint egrale Jx R x tet avec x est un nombre r eel a Au moyen dune int egration par parties montrer que Jx e x e x 1 x b Montrer que pour tout x de R x 2 2 e xx 2 Jx x 2 2 e xx 2 c Montrer que pour tout x de R 1 2 e xx 2 e x1x x 2 1 2 e xx 2 3

d En d eduire que la fonction f est derivable en 0 et que f 0 1 2 5 On note f la fonction d eriv ee de la fonction f sur R a Montrer que pour tout x de R fx e x e x13 e x x 2 2 x b Etudier le signe de e x x 2 2 x pour tout x de R c En d eduire que pour tout x de R fx gt 0 d Tracer C III On considere la suite num erique unnN d efinie par u0 1 et pour tout n de N fun un1 1 Montrer que x ln 2 est lunique solution de l equation fx x 2-a Montrer que que pour tout x de R f x 1 2 2-b Montrer que pour out n de N un1 ln 2 1 2 un ln 2 3 Montrer que la suite unnN est convergente et determiner sa limite IV Soit F la fonction num erique d efinie sur R par Fx R 2x x t e t1 x 6 0 F0 0 1-a Montrer que pour tout x R 2x 2 e 2x1 Fx x 2 e x1 1-b Montrer que F est continue en 0 1-c Montrer que F est derivable en 0 et que F 01 2-a Montrer que F est derivable sur R et que pour tout x de R F x 3e x e x1fx 2-b Etudier le sens de variation de la fonction F FIN DU SUJET wwwmathslandcom 4